UNIDAD 3. GRAFICACION 3D

GRAFICACION 3D.

El término gráficos 3D por computadora (o por ordenador) se refiere a trabajos de arte gráfico que son creados con ayuda de computadoras y programas especiales. En general, el término puede referirse también al proceso de crear dichos gráficos, o el campo de estudio de técnicas y tecnología relacionadas con los gráficos tridimensionales.

Un gráfico 3D difiere de uno bidimensional principalmente por la forma en que ha sido generado. Este tipo de gráficos se originan mediante un proceso de cálculos matemáticos sobre entidades geométricas tridimensionales producidas en un ordenador, y cuyo propósito es conseguir una proyección visual en dos dimensiones para ser mostrada en una pantalla o impresa en papel.

En general, el arte de los gráficos tridimensionales es similar a la escultura o la fotografía, mientras que el arte de los gráficos 2D es análogo a la pintura. En los programas de gráficos por computadora esta distinción es a veces difusa: algunas aplicaciones 2D utilizan técnicas 3D para alcanzar ciertos efectos como iluminación, mientras que algunas aplicaciones 3D primarias hacen uso de técnicas 2D.

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3.1 REPRESENTACION DE OBJETOS EN TRES DIMENSIONES.

La representación de los objetos en tres dimensiones sobre una superficie plana, de manera que ofrezcan una sensación de volumen se llama Perspectiva. Se representan los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z, se representa la altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el eje X, se representa la longitud.

Los distintos tipos de perspectivas dependen de la inclinación de los planos Los sistema más utilizados son la isométrica, la caballera y la cónica. Estudiaremos en este curso las dos primeras.

Perspectiva Isométrica. En ella los ejes quedan separados por un mismo ángulo (120º). Las medidas siempre se refieren a los tres ejes que tienen su origen en un único punto.

Perspectiva Caballera. En ella los ejes X y Z tienen un ángulo de 90º y el eje Y con respecto a Z tiene una inclinación de 135º. En es te caso las medidas en los ejes X y Z son las reales y las del eje Y tiene un coeficiente de reducción de 0.5.

DIBUJAR EN PERSPECTIVA.........

En ambas perspectivas, el sistema más sencillo es llevar las tres vistas principales sobre los planos formados por los ejes:

Alzado en el plano XZ.

Planta en el plano XY.

Perfil en el plano YZ.

Cada una de las aristas que forman las vistas se prolonga paralelamente al eje que corresponda:

Horizontal paralelo al eje de las X.

Vertical paralelo al eje de las Z.

Profundidad paralelo al eje de las Y.

Transformaciones en OpenGL....

En algunos tutoriales anteriores de OpenGL se han mencionado de manera fragmentaria los conceptos de transformaciones:

· En los “Hola Mundo 3d en OpenGL” y “Hola Complicado Mundo OpenGL-win32” se utilizaron algunas transformaciones de proyección y viewport para ajustar la inicialización de la ventana, pero sin entrar mucho en detalle acerca de su funcionamiento.

· Proyección: Trasforman una escena 3d “abstracta”, en una imagen plana que puede ser visualizada en una pantalla.

· Viewport: Ajustan el producto de la proyección a las dimensiones de un rectángulo contenedor (ventana).

· De vista: Que definen y afectan la posición desde la cual se visualizan las escenas tridimensionales.

· Modelado: Sirven para manipular los objetos en la escena, permitiendo trasladarlos, rotarlos y deformarlos (escalarlos).

· Modelo-Vista: Son la combinación de las dos transformaciones anteriores, que desde un punto de vista práctico son semejantes.

· void glMatrixMode( enum mode ); Permite seleccionar la matriz sobre la cual se realizaran las operaciones, los posibles valores de mode son TEXTURE, MODELVIEW, COLOR o PROJECTION . Por ahora las más interesantes son MODELVIEW y PROJECTION, las otras se verán en su momento.

· Void glLoadMatrix{fd} (T m[16]); Recibe una matriz de 4×4 que reemplaza la actual seleccionada. El arreglo es ordenado en forma de una matriz que tiene orden Y, a diferencia de las matrices convencionales que tienen orden X, lo que quiere decir que tiene la forma.

· void glMultMatrix{fd}( T m[16] ); Multiplica la matriz actual por la matriz m[16] y reemplaza la matriz actual con el resultado de la operación. La operación resultante sería algo así como A’ = A M , donde A es la matriz actual, M es la matriz suministrada y A’ es la nueva matriz que resulta de la operación y que reemplaza a A.

· void glLoadTransposeMatrix{fd}( T m[16] ); Realiza una función similar a LoadMatrix(), con la diferencia que trabaja sobre una matriz en orden X así.

· void glMultTransposeMatrix{fd}( T m[16] ); Misma funcionalidad que MultMatrix() , solo que actúa en base al la matriz en orden X, o sea la transpuesta.

· void glLoadIdentity( void ); Remplaza la matriz actual por la matriz identidad de tamaño 4×4.

Estas operaciones afectan directamente las matrices mencionadas anteriormente, debido a que las operaciones de “alto nivel” (trasladar, rotar, escalar) que existen mas adelante se concatenan, es decir su efecto se acumula sobre matriz actual, existen dos operaciones que permiten guardar la matriz actual en una pila y restaurarla cuando sea necesario, estas son:

· void glPushMatrix( void ); Coloca una copia de la matriz actual en la parte superior de la pila correspondiente.

· void glPopMatrix( void ); Saca el elemento superior de la pila, que pasa a reemplazar a la matriz actual.

Estas dos operaciones son muy utilizadas, debido a que permiten realizar transformaciones sobre objetos diferentes, manteniendo algunas de las anteriores sin modificar.

Proyección........

Como ya se ha visto en tutoriales anteriores, OpenGL maneja 2 tipos de proyección, en perspectiva y ortográfica, donde la primera corresponde a la visión “realista” de la escena, mientras que la segunda es una “plana” que no deforma las dimensiones de los objetos dependiendo de su distancia a la cámara.

Ortográfica: Para ajustar la proyección ortográfica se utiliza el siguiente grupo de funciones:

glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top);

Perspectiva: Existen dos manera de manejar la proyección en perspectiva, a través de de una función gl o mediante la librería glu (una tercera puede ser realizar los cálculos de la matriz “manualmente”. En el primer caso:

glFrustrum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far).

Transformaciones ModelView........

Una tarea muy común en la creación de gráficos 2d, 3d y videojuegos es la de mover objetos par crear cierta animación. La primera idea que se nos viene a la cabeza en el caso de OpeGL es que todo modelo está formado por primitivas, toda primitiva por puntos y finalmente todo punto por una tripleta de coordenadas XYZ, así que si se cambian las coordenadas todo de ahí hacia arriba se mueve.

void glRotate[fd](GLfloat angle, GLfloat x, GLfloat y, GLfloat z);

Hay que tener en cuenta las siguientes características a la hora de utilizar estas funciones:

· Estas tres operaciones afectan la matriz actual seleccionada, bien sea MODELVIEW o PROJECTION, generalmente para propósitos de rotar objetos dentro de la escena se utiliza la matriz MODELVIEW.

· El eje coordenado de referencia para las operaciones tanto en MODELVIEW como en PROJECTION se denomina “eye coordinates”, que traduce coordenadas de “ojo” o mejor “vista”. Este es un sistema inamovible y en ausencia de cualquier transformación, la “cámara” está situada en (0,0,0) apuntando hacia la dirección Z negativa, con el vector “arriba” en el sentido Y positivo.

· Cada operación que afecta la matriz MODELVIEW crea otro sistema coordenado para los objetos que se dibujen después de realizada la trasformación, dicho sistema difiere del “básico”, es decir de las llamadas coordenadas de vista (eye coordinates) dependiendo de todo el conjunto de transformaciones realizadas desde el momento en que la matriz MODELVIEW dejo de ser la identidad.

· Una consecuencia de lo anterior es que las operaciones no son conmutativas, es decir que un llamado de glRotatef(), seguido de uno de glTranslatef() produce un efecto diferente a llamar las operaciones en orden inverso. Esto se ve mejor ilustrado en el gráfico:

· Es importante aprender a utilizar correctamente glPushMatrix(), glPopMatrix() y otras operaciones que permitan salvar y restaurar estados de matriz, debido a que permiten realizar translaciones y rotaciones especificas para un cierto objeto, sin alterar los otros.

Hardware....

En realidad, el API de ogl está pensado para trabajar bajo el respaldo de un hardware capaz de realizar las operaciones necesarias para el renderizado, pero si no se dispone de ese hardware, estas operaciones se calcularan por medio de un software contra la CPU del sistema. Así que los requerimientos hardware son escasos, aunque cuanto mayor sea las capacidades de la maquina, mayor será el rendimiento de las aplicaciones ogl.

Windows.....

En principio, cualquier versión de windows viene con las librerías necesarias para ejecutar cualquier aplicación que utilice OpenGL. Para el desarrollo de las mismas, el Microsoft Visual Studio, y en particular Visual C++ trae también todo lo necesario. Puedes consegir, además, la última versión de la GLUT en la web de Nate Robins.

Coordenadas oculares......

Las coordenadas oculares se sitúan en el punto de vista del observador, sin importar las transformaciones que tengan lugar. Por tanto, estas coordenadas representan un sistema virtual de coordenadas fijo usado como marco de referencia común.

Transformaciones

Las transformaciones son las que hacen posible la proyección de coordenadas 3D sobre superficies 2D. También son las encargadas de mover, rotar y escalar objetos.

El modelador

En esta sección se recogen las transformaciones del observador y del modelado puesto que, como se verá en el apartado, constituyen, al fin y al cabo, la misma transformación.

Transformaciones del observador.....

La transformación del observador es la primera que se aplica a la escena, y se usa para determinar el punto más ventajoso de la escena. Por defecto, el punto de vista está en el origen (0,0,0) mirando en dirección negativa del eje z. La transformación del observador permite colocar y apuntar la cámara donde y hacia donde se quiera.

Transformaciones del modelo

Estas transformaciones se usan para situar, rotar y escalar los objetos de la escena. La apariencia final de los objetos depende en gran medida del orden con el que se hayan aplicado las transformaciones.

Transformaciones de la proyección

La transformación de proyección se aplica a la orientación final del modelador. Esta proyección define el volumen de visualización y establece los planos de trabajo

Los dos tipos de proyección más utilizados son la ortográfica y la perspectiva, que veremos más adelante.

Transformaciones de la vista

En el momento en que se ha terminado todo el proceso de transformaciones, solo queda un último paso: proyectar lo que hemos dibujado en 3D al 2D de la pantalla, en la ventana en la que estamos trabajando.

Matrices

Las matemáticas que hay tras estas transformaciones se simplifican gracias a las matrices. Cada una de las transformaciones de las que se acaba de hablar puede conseguirse multiplicando una matriz que contenga los vértices por una matriz que describa la transformación.

El canal de transformaciones

Para poder llevar a cabo todas las transformaciones de las que se acaba de hablar, deben modificarse dos matrices: la matriz del Modelador y la matriz de Proyección.

La matriz del modelador

La matriz del modelador es una matriz 4x4 que representa el sistema de coordenadas transformado que se está usando para colocar y orientar los objetos.

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3.2 VISUALIZACION DE OBJETOS........

No cabe duda de que la representación tridimensional del territorio abre nuevas posibilidades en el ámbito geográfico. Pero el 3D por sí solo no está justificado. Las acciones para la navegación por una escena tridimensional son más complejas que las necesarias para la navegación en un plano. Cada aplicación de software ha resuelto de manera distinta, la manera de controlar la elevación, rotación y cabeceo del punto de vista, lo que requiere un aprendizaje por parte del usuario. Además, el tiempo real de las escenas exige más cantidad de recursos, tanto de cálculo como de datos.

La representación tridimensional es conveniente cuando la visualización de una tercera magnitud, típicamente la elevación del terreno, resulta útil para la interpretación de los datos que se quieren mostrar. Se presentan a continuación algunos de los usos más comunes.
GRAFICACION 2D.

GRAFICACION 3D.



PROYECCIONES.....

Existen dos métodos básicos para proyectar objetos tridimensionales sobre una superficie de visión bidimensional. Todos los puntos del objeto pueden proyectarse sobre la superficie a lo largo de líneas paralelas o bien los puntos pueden proyectarse a lo largo de las líneas que convergen hacia una posición denominada centro de proyección. Los dos métodos llamados proyección en paralelo y proyección en perspectiva, respectivamente, se ilustran. En ambos casos, la intersección de una línea de proyección con la superficie de visión determinada las coordenadas del punto proyectado sobre este plano de proyección. Por ahora, se supone que el plano de proyección de visión es el plano z = 0 de un sistema de coordenadas del izquierdo.

PROYECCIÓN EN PARALELO.....

Una proyección en paralelo preserva dimensionar relativas de los objetos y esta es la técnica que se utiliza en dibujo mecánico para producir trazos a escala de los objetos en las dimensiones. Este método sirve para obtener vistas exactas de varios lados de un objeto, pero una proyección en paralelo no ofrece una presentación realista del aspecto de un objeto tridimensional.

Las vistas formadas con proyecciones en paralelo se pueden caracterizar de acuerdo con el angulo que la dirección de proyección forma con el plano de proyección. Cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección, se tiene una proyección ortogonal.Una proyección que no es perpendicular al plano se denomina proyección oblicua.

PROYECCIÓN ORTOGONAL......

La Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

Existen diferentes tipos:

Vista A: Vista frontal o alzado

Vista B: Vista superior o planta

Vista C: Vista derecha o lateral derecha

Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda

Vista E: Vista inferior

Vista F: Vista posterior

Las ecuaciones de transformación parea efectuar una proyección paralela ortogonal son directas.Para cualquier punto (x, y, z), el punto de proyección (Xp, Yp, Zp) sobre la superficie de visión se obtiene como Xp=X, Yp=y, Xp=0.

PROYECCIÓN OBLICUA. .....

Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La figura muestra una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de proyección a la posición (xp, Yp).

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3.3 TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES.....

MÉTODO DE TRASLACIÓN...

En una representación coordenada homogénea tridimensional, un punto es trasladado (fig.11.1) de la posición (x,y,z) a la posición (x’,y’,z’) con la Operación matricial.

[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]



Los parámetros Tx, Ty, Tz, que especifican distancias de traslación para las coordenadas, reciben la asignación de cualquier valor real. La representación matricial de la ecuación 11.1 es equivalente a las tres ecuaciones


x’ =x + Tx, y’ = y + Ty, z’ =z + Tz


Un objetivo se traslada en tres dimensiones transformando cada punto definidor del objeto. La traslación de un objeto representada como un conjunto de superficies poligonales se efectúa trasladando los valores coordenados para cada vértice de cada superficie. El conjunto de posiciones coordenadas trasladadas de los vértices define entonces la nueva posición del objeto.





MÉTODO DE ESCALACIÓN....

Operación matricial. 

[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1] 


Los parámetros de escalación Sx, Sy, Sz, se les asigna asignación cualquier valor positivo. 
Cuando la transformación 11-3 se aplica para definir puntos en un objeto, el objeto se escala y se desplaza en relación con el origen coordenado. 

MÉTODO DE ROTACIÓN.

Para especificar una transformación de rotación de un objeto, se debe designar un eje de rotación (en torno al cual se hará girar el objeto) y la cantidad de rotación angular. En aplicaciones bidimensionales, el eje de rotación siempre es perpendicular al plano xy. En tres dimensiones, un eje de rotación puede tener cualquier orientación espacial.los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos que son paralelos a los ejes coordenados. Asimismo, podemos valernos de las rotaciones en torno a los tres ejes coordenados con el fin de producir una rotación en torno a cualquier eje de rotación especificado en forma arbitraria. 
Las direcciones de rotación positivas en torno a los ejes coordenados son en sentido contrario al del reloj, como se observa a lo largo de la posición positiva de cada eje en dirección del origen. 

Operación matricial de rotación en el eje Z 
El parámetro Ѳ especifica el ángulo de rotación. 

[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1] 



Imagen que muestra la rotación de un objeto en torno al eje Z. 



Operación matricial de rotación en el eje X 
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1] 





Operación matricial de rotación en el eje y 
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1] 


 

REPRESENTACIÓN EN UN GRÁFICA 3D DE LOS TRES MÉTODOS ANTERIORES:

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3.4 LINEAS Y SUPERFICIES CURVAS......

LINEAS..

La recta es una sucesión infinita o continua de puntos a lineados en una sola dirección. Es una de las primitivas gráficas en computación gráfica viene dada por la ecuación y= m.x+b, donde m es la pendiente de la recta y v es el corte con el eje y.

Como los pixeles se grafican en posiciones enteras, la linea trazada solo puede aproximar posiciones de lineas reales entre los puntos extremos especificados.

Una linea recta debe dibujarse como una sucesión de pixeles.

Efecto de escalera que se produce cuando se genera una linea como una serie de pixeles .





TRASFORMAR PRIMITIVAS EN PIXELES

Las coordenadas de los pixeles deben estar lo mas cerca posible de una linea recta real.

Un algoritmo debe cumplir con:

*La secuencia de pixeles debe ser lo mas recta que se pueda.

*Las lineas deben tener el mismo grosor e intensidad sin importar el grado de inclinación.

*Las lineas deben dibujarse lo mas rápido posible.

ALGORITMOS PARA TRAZO DE LINEAS......

ALGORITMO DDA.

El analizador diferencial digital(DDA) es un algoritmo que sirve para calcular posiciones de pixeles a lo largo de una linea, mediante el uso de la ecuación.

∆y=m.∆x

Ecuación básica de la recta y=m.x+b m es la pendiente y v es la intersección con el eje y.

ALGORITMO DE BRESENHAM.

Calcula cual de dos pixeles es el mas cercano a la trayectoria de una linea.

El pixel x(i),y(i) se divide en (xi+1,yi)(xi+1,yi+1) hay que decidir cual pintar calculando la distancia vertical entre el centro de cada pixel y la linea real.

Las posiciones de los pixeles se representan por las áreas rectangulares numeradas.

Sección de una retícula de la pantalla donde se desplegara una linea que pasara por:

(Xi,Yi)





De aquí se tiene y=m(xi+1)+b


Definimos:
d1=y-yi
=m(xi+1)+b-yi


d2=(y1+1)-y
=y1+1-m(xi+1)-b


la diferencia es :

definimos pi como:
donde c es:
obtenemos pi+1 de pi
como:








ATRIBUTOS DE LAS PRIMITIVAS DE SALIDA.....

Estilo de lineas

*Los atributos de estilo de linea determinan la forma en que se desplegara una linea por medio de una rutina de trazo de lineas. Los atributos de linea son su tipo,su anchura y su color.

Tipo de linea

Los atributos de linea incluye las lineas solidas,lineas punteadas con lineas y punteadas.

El método setStrokeStyle permite cambiar el estilo de linea.

Este método acepta los siguientes valores:

a) Graphics.SOLID - linea solida

b) Graphics.DOTTED- linea de puntos

GRAPHICS 2D SETSTROKE......

Un objeto basicstroke contiene información sobre la anchura de la linea, estilo de uniones, estilos finales, y estilo de punteado.Esta información se usa cuando se dibuja una Shape con el método DRAW.

La anchura de linea es la longitud de la linea medida perpendicularmente a su trayectoria. La anchura de la linea se especifica como un valor float en las unidades de coordenadas de usuario, que es equivalente 1/72 pulgadas cuando se utiliza la tranformacion por defecto.

Nota:

Para rellenar o puntear un gráfico primitivo,necesitamos hacer dos llamadas separadas a métodos fill o drawString para rellenar el interior y draw para dibujar el exterior.

Los 3 estilos de linea usados en este ejemplo ancho, estrecho y punteado son ejemplares de:

BasicStroke:

// Sets the Stroke.

...

case 0 : g2.setStroke(new BasicStroke(3.0f)); break;

case 1 : g2.setStroke(new BasicStroke(8.0f)); break;

case 2 : float dash[] = {10.0f};

g2.setStroke(new BasicStroke(3.0f,

BasicStroke.CAP_BUTT,

BasicStroke.JOIN_MITER,

10.0f, dash, 0.0f));

break;

BASICSTROKE SOPORTA 3 ESTILOS DE UNIÓN:


*JOIN_BEVEL
*JOIN_MITER
*JOIN_ROUND

El estilo de finales es la decoración que se aplica cuando un segmento de linea termina.
BASICSTROKE soporta 3 estilos de finalización:*CAP_BUTT
*CAP_ROUND
*CAP_SQUARE

El elemento 0 representa el primer punteado , el elemento 1 el primer espacio , etc. La fase de punteado es un desplazamiento en el patrón de punteado, también especificado en unidades de coordenadas de usuario. La fase de punteado indica que parte del patrón de punteado se aplica al principio de la linea.


PATRÓN DE RELLENO.

Los patrones de relleno están definidos por el atributo Paint en el contexto Graphics2d. Para seleccionar el atributo paint, se crea un ejemplar de un objecto que implemente el interface paint y eso pasa dentro del método Graphics2d setPaint.


ANCHURA DE LINEA.

La implementacion de las opciones de anchura de lineas dependen del tipo de dispositivo de salida que se utilice Una linea ancha en un monitor de vídeo podría trazarse como lineas paralelas adyacentes, mientras que una graficadora de pluma podría requerir cambios de pluma . Como sucede con otros atributos puede usarse como comando de anchura de linea para fijar la anchura regular de la linea.

Color de linea.
Cuando un sistema ofrece sistemas de color (o bien de intensidad) un parámetro que da el indice de color regular se incluye en la lista de valores de atributos del sistema.

Método para cambiar color.
*setColor(int color)
*setColor(int rojo,int verde,int azul)


CONCLUSIÓN............

Graficos 3D

Se llaman gráficos 3D a todos los objetos que se pueden dibujar en un espacio R3: puntos, segmentos, curvas, superficies y varios cuerpos formados por caras poligonales, así como textos y macros.

En una palabra, son gráficos que tienen profundidad y además aportan mucha sensación de realismo.

En los juegos en 3d el personaje que manejamos o cualquier bot se puede mover en los tres ejes cartesianos: x, y , z.

Comparamos por ejemplo el conocido juego Counterstrike con el Mario de antaño, en el primero te puedes mover izquierda, derecha y arriba; en canvio, si lo comparamos con el segundo ves que no te puedes mover en los tres puntos, solo se mueve en lateral (izquierda y derecha). Por eso llegamos a la conclusión que Counterstrike está en tres dimensiones y el juego de Mario en 2d.

La mayoría de juegos 3d han sido modelados mediante polígonos formando una malla y a continuación han sido renderizados.

En la primera imagen se puede apreciar la sensación de profundidad, de este modo llegamos a la conclusión que el gráfico está en 3d como se puede apreciar fácilmente.

Si lo comparamos con la segunda imagen observaremos muchas diferencia, para empezar el fotorrealismo, no tiene el mismo realismo la primera que la segunda; también podemos ver que el personaje de la segunda solo se puede mover de lado.

De esta manera llegamos a la conclusión que es una imagen en 2 dimensiones. (x, y)

3D:

BIBLIOGRAFIA...................

http://graficacionporcomputadora.blogspot.mx/2013/05/34-lineas-y-superficies-curvas_8.html

http://informatica.uv.es/iiguia/AIG/web_teoria/tema3.pdf

http://grafi-ricardo.blogspot.mx/2012/03/la-representacion-de-los-objetos-en.html

UNIDAD 2. GRAFICACION 2D.

GRAFICACION 2D.

La computación gráfica 2D es la generación de imágenes digitales porcomputadora - sobre todo de modelos bidimensionales (como modelos geométricos, texto y imágenes digitales 2D) y por técnicas específicas para ellos. La palabra puede referirse a la rama de las ciencias de la computación que comprende dichas técnicas, o a los propios modelos.

La computación gráfica 2D se utiliza principalmente en aplicaciones que fueron desarrolladas originalmente sobre tecnologías de impresión y dibujotradicionales, tales como tipografía, cartografía, dibujo técnico, publicidad, etc. En estas aplicaciones, la imagen bidimensional no es sólo una representación de un objeto del mundo real, sino un artefacto independiente con valor semántico añadido; los modelos bidimensionales son preferidos por lo tanto, porque dan un control más directo de la imagen que los gráficos 3D por computadora (cuyo enfoque es más semejante a la fotografía que a la tipografía).

En muchos dominios, tales como la autoedición, ingeniería y negocios, una descripción de un documento basado en las técnicas de computación 2D pueden ser mucho más pequeñas que la correspondiente imagen digital, a menudo por un factor de 1/1000 o más. Esta representación también es más flexible ya que puede ser renderizada en diferentes resoluciones para adaptarse a los diferentes dispositivos de salida. Por estas razones, documentos e ilustraciones son a menudo almacenados o transmitidos como archivos gráficos en 2D.

Los gráficos 2D por computadora se han iniciado en la década de 1950, basándose en dispositivos de gráficos vectoriales.1 Éstos fueron suplantados en gran parte por dispositivos basados en gráficos raster en las décadas siguientes. El lenguaje PostScript y el protocolo de sistema de ventanas X fueron piezas claves en la evolución histórica del campo.
2.1 TRAZO DE LINEAS RECTAS.

Las líneas en OpenGL son en realidad segmentos acotados, en lugar de la idea matemática de rectas infinitas. Su definición viene dada por la especificación del valor de sus dos vértices extremos.Consideremos una línea recta que pasa por dos puntos P1=[20, 20] y [25,20]. Podemos calcular la línea recta que pasa por estos puntos como
(y-y1) = (y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1)
Sustituyendo los valores tenemos
(y-20) = (21-20)*(x-20)/(25-20)
Finalmente tenemos
y = 0.2 x + 16

Podemos calcular los valores utilizando el siguiente código
void linea(int x0, int y0, int x1, int y1)
{ int x;
float dy, dx, y, m;
dy = y1 - y0;
dx = x1 - x0;
m = dy/dx;
y = y0;
for(x = x0; x <= x1; x++)
{ escribir_pixel(x, (int) floor(y+0.5) );

y +=m; } }
Note que se suma 0.5 y se calcula la parte entera para redondear la solución.



2.2 REPRESENTACIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS.
OpenGL maneja polígonos correctamente siempre y cuando sean simples y convexos. Si ese no es el caso, OpenGL dibuja cosas raras.
Además en algunas ocasiones se quiere especificar el vector normal del plano en el cual se encuentra el polígono. Dicho vector normal se necesita p.e. para algoritmos de visualización avanzada (``Phong shading'').
Cuando se escriben aplicaciones gráficas nos enfrentamos con el problema siguiente: desde alguna fuente ``vienen'' listas de puntos (o bien de otro programa, o bien de un fichero, o bien de modo interactivo) y hay que interpretar las listas como polígonos, es decir, hay que verificar si las listas cumplen la definición de especificar polígonos simples y convexos. Si ese no es el caso, a lo mejor se pueden ``corregir'' las listas. (Programas con tal propiedades se llama robustos y tolerantes.)

Entonces (en el caso de mera visualización con OpenGL):
Se puede eliminar puntos múltiples consecutivos en la lista.
Se puede intentar calcular el plano en el cual se encuentran más o menos los puntos del polígono (eso no es tan trivial).
En dicho plano, es decir, una vez corregidos los puntos hasta que se encuentren exactamente en el plano, se puede verificar si el polígono es simple y convexo (eso es algo bastante fácil).
Si no es así, se podría subdividir el polígono en partes simples y convexos para seguir trabajando después con las partes sin problemas (este paso no lo vamos a realizar en estas prácticas).
Antes de dedicarnos a los detalles, dibujamos polígonos con OpenGL asumiendo que la lista de puntos cumple la definición.
Siempre que se quiera dibujar un objeto de OpenGL (en este caso unos polígonos, antes vimos puntos y segmentos), hay que decírselo de antemano con la función
glBegin()
La lista de puntos se define con consecutivas llamadas a
glVertex*()
y se termina el trabajo con
glEnd()
En lugar de dibujar polígonos rellenados, OpenGL puede dibujar, o bien solo las esquinas o bien solo los segmentos del borde. Eso se realiza con la función
glPolygonMode() a la cual hay que pasar también cuál de las dos posibles caras del polígono se quiere pintar.
Además se pueden llenar los polígonos con patrones que no detallamos por el momento.
glEnable()
glPolygonStipple()

ALGORITMO DDA PARA GENERACIÓN DE LÍNEAS.

El algoritmo de Bresenham es un algoritmo creado para dibujar rectas en los dispositivos de gráficos rasterizados, como por ejemplo un monitor de ordenador, que determina qué pixeles se rellenarán, en función de la inclinación del ángulo de la recta a dibujar.

Este Algoritmo sirve para Generar Una Línea Recta , y Para eso Hace Uso de La pendiente Y de los Incrementos en X, Y.

ALGORITMO DE BRESENHAM PARA TRAZAR LÍNEAS
El algoritmo de Bresenham es un algoritmo que determina los puntos en un mapa de bits de n dimensiones que deben ser trazados con el fin de formar una aproximación a una línea recta entre dos puntos dados.

Es comúnmente usado para dibujar líneas en una pantalla de ordenador, ya que utiliza sólo adición de enteros, la resta y desplazamiento de bits, que son operaciones muy barato en las arquitecturas de ordenador estándar. Es uno de los primeros algoritmos desarrollados en el campo de gráficos por ordenador. Una extensión menor a la del algoritmo original también se ocupa de dibujar círculos.

ALGORITMO DE BRESENHAM PARA TRAZAR CIRCUNFERENCIAS
En graficación, el algoritmo de “mid point circle” es un algoritmo utilizado para determinar los puntos necesarios para dibujar un círculo.

El algoritmo es una variante del algoritmo de la línea Bresenham, por lo que es a veces conocido como algoritmo de círculo Bresenham, aunque en realidad no inventada por Bresenham. El algoritmo comienza en consecuencia con el círculo de la ecuación

x2+y 2=r2.

Así, el centro del círculo se encuentra en (0,0). Consideramos que sólo la primera el octante primera y trazar una curva que comienza en el punto (r,0) y hacia arriba los ingresos ya la izquierda, llegando al ángulo de 45 °. La dirección “rápida” aquí es la dirección vertical. El algoritmo hace siempre un paso en la dirección positiva (hacia arriba), y de vez en cuando también tiene que hacer un paso en la "lenta" la dirección, la dirección x negativa. De la ecuación de un círculo se obtiene la ecuación transformada

x2+y 2-r2= 0, donde r2 se calcula sólo una sola vez durante la inicialización.

2.3.1 TRASFORMACIÓN BIDIMENSIONAL.

Todo cuerpo representado en un plano puede sufrir varios tipos de transformaciones en su estructura. Las transformaciones de tipo básico, como pueden ser la traslación,  Escalamiento y rotación de objetos.

Un objeto definido se construye a partir de una serie de puntos coordenados, desde los cuales se pueden aplicar diversas fórmulas para realizar un cambio de la figura.

2.3.1.Traslación.

Se pueden encontrar varias definiciones de traslación
Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra.
Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar".

La figura sigue viéndose exactamente igual, solo que en un lugar diferente.
Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra.
Ejemplos:

2.3.2.Rotación.

Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.

Otra forma de conseguir la rotación, respecto a un punto de movimiento, es fijar los diferentes puntos respecto a un punto de fijación siendo los puntos que forman la figura, relativos a este.
La fórmula a aplicar en este último supuesto, sería la siguiente:
X' = X * Cos (àngulo) - Y * Sin(ángulo)
Y' = Y * Cos (ángulo) - X * Sin(ángulo).

2.3.4. Escalación.

Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.

Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.
Esta es la transformación del objeto especialmente interesante, pues con ella se consigue el efecto Zoom.

Ejemplos:

2.4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL.

La representación tradicional de un grafo consiste en un conjunto de puntos que representan los nodos unidos por unas líneas que unen aquellos nodos relacionados. No obstante, cuando el número de nodos se empieza a hacer elevado (por encima de unos 20 nodos y 20-30 enlaces para algunos autores), los problemas de oclusión entre enlaces e incluso entre los propios nodos comienzan a prevalecer y hacen muy difícil la comprensión y la interacción con la representación.Una representación alternativa que, pese a su relativo desconocimiento, resulta muy útil es la matricial.
Para nuestros efectos la representación matricial es una disposición en filas y columnas en las que cada fila y cada columna representa un nodo y en las intersecciones entre ellas se coloca un 0 o un 1 (o un cuadrado de color o su ausencia) para denotar que hay un enlace entre los nodos correspondientes.
Así pues lo que pintamos es una matriz booleana de conectividad, también llamada matriz de adyacencia. Fijémonos que ello nos permite visualizar enlaces uno a uno, uno a muchos y muchos a uno de manera muy sencilla.
Obviamente el paradigma matricial se puede extender más allá de la matriz de adyacencia asignando una variable visual como por ejemplo el color a cada celda en función del valor de una variable como por ejemplo el tráfico de un enlace web o el número de publicaciones de las que dos nodos son co-autores.
Representación matricial de un grafo: Cada dimensión se representa en un eje paralelo a los de las demás dimensiones. En este caso en cada fila y columna se hallan miembros del Xerorx PARC y se puede ver quien colabora con quien





La disposición matricial garantiza que no hay oclusión ni entre enlaces ni entre nodos. Por otro lado el estudio de los patrones visuales que surgen permite identificar agrupaciones y "comunidades" permutando el orden de filas y columnas de manera que los nodos más enlazados mutuamente se encuentren cercanos.
Ventajas

Ausencia de oclusión entre los nodos, lo que permite siempre leer su etiqueta.
No hay cruzamiento entre enlaces , lo que permite identificar fácilmente el origen y el destino del enlace.
Fácil identificación de la ausencia de conexiones.
Supera sistemáticamente a los grafos en diferentes tareas como contar nodos, encontrar enlaces etc cuando el número de nodos supera los 20.Inconvenientes.

Para un mismo nivel de detalle se requiere un espacio mayor que en el grafo tradicional.
Para redes pequeñas (<20 nodos, 20-30 enlaces) el grafo es más efectivo.
Mayor dificultad para seguir caminos (por ejemplo del nodo A al B pasando por el C)
Falta de familiaridad, constituyen un paradigma mucho menos conocido e intuitivo.
Se pueden volver a formular las representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector.
P' = M1·P + M2La matriz M1 es una matriz de 2 por 2 que contiene factores de multiplicación y M2 es una matriz de columnas de dos elementos que contiene términos de traslación. Para la traslación, M1 es la matriz de identidad. Para la rotación o la escalación M2 contiene los términos de traslación asociados con el punto pivote o el punto fijo de escalación.
Un planteamiento más eficiente combinaría las transformaciones de manera que se obtengan las coordenadas finales directamente a partir de las coordenadas iniciales para eliminar el cálculo de coordenadas intermedias. De esta manera, se debe de formular nuevamente la ecuación para eliminar la adición de la matriz asociada con los términos de la traslación M2.
Para expresar cualquier transformación bidimensional como una multiplicación de matriz, representamos cada posición de coordenadas cartesianas (x, y) con las tres coordenadas homogéneas (xh, yh, h), donde

x = xh / h, y = yh / hPor tanto, una representación general de coordenadas homogéneas se puede expresar también como (h·x, h·y, h). Para transformaciones geométricas bidimensionales, seleccionamos el parámetro homogéneo h como cualquier valor no cero. Así, existe un número finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas (x, y).
Conclusión:
Una representación matricial es la manera en que los pixeles se distribuyen en una maya, esto aplica en las imágenes y figuras geométricas y es un principio básico del software para la manipulación de los mismos , esto nos permite tambien aplicar colores, este tipo de representación facilita el uso de formulas para poder aplicar las transformaciones geométricas, las cuales son dependientes de formulas para poder actuar y modificar nuestros gráficos, es importante saber esto para poder comprender el comportamiento de las imágenes.


2.5. VENTANA Y PUERTO DE VISIÓN.

Un área rectangular que se especifica en coordenadas mundiales se denomina ventana. El área rectangular en el dispositivo de despliegue en el cual se coloca la ventana se llama puerta de visión.

Los límites de la ventana se especifican en coordenadas mundiales. Las coordenadas de dispositivo normalizadas se usan con mayor frecuencia para la especificación de la puerta visión, aunque las coordenadas del dispositivo pueden emplearse si hay solamente un dispositivo de salida en el sistemas. Cuando se usan coordenadas de dispositivo normalizadas, el programador considera el dispositivo de salida como aquel que tiene valores coordenados dentro del intervalo de 0 a 1.

Las posiciones de coordenadas que se expresan en coordenadas de dispositivo normalizadas deben convertirse a las coordenadas del dispositivo antes de que un dispositivo de salida específico haga el despliegue. Una rutina específica del dispositivo se incluye en paquetes de gráficas con este fin. La ventaja de emplear coordenadas de dispositivo normalizadas es que el paquete de gráficas es considerablemente independiente del dispositivo. Pueden utilizarse distintos dispositivos de salida ofreciendo los conductores adecuados del dispositivo.

Cambiando la posición de la puerta de visión, los objetos pueden desplegarse en diferentes posiciones en un dispositivo de salida. Asimismo, variando el tamaño de las puertas de visión, el tamaño y las proporciones de los objetos pueden alterarse. Cuando se trazan en forma sucesiva ventanas de diferentes tamaños en una puerta de visión, pueden lograrse efectos de acercamiento. Conforme las ventanas se hacen pequeñas, un usuario puede lograr el acercamiento de alguna parte de una escena para visualizar detalles que no se muestran con las ventanas mayores.
Analógicamente, puede obtener un panorama general más amplio realizando un acercamiento de una sección de escena con ventanas cada vez más mayores. Los efectos de toma panorámica se producen moviendo o desplazando una ventana de tamaño fijo a través de una imagen grande.
Un ejemplo del uso de comandos múltiples de colocación de ventanas y puertas de visión se da en el siguiente procedimiento. Se despliegan dos graficas en diferentes mitades de un dispositivo de despliegue

ALGORITMOS DE RECORTE.

El trazo del área de una ventana en una puerta de visión produce el despliegue solamente de las partes de la imagen que están dentro de la ventana. Todo lo que está afuera de la venta se desprecia. Los procedimientos para eliminar todas las partes de una imagen definida situada fuera de fronteras específicas se conocen como algoritmos de recorte de recorte o simplemente recorte.
La transformación de colocación de ventanas a menudo se realiza por recorte de la ventana, trazando después el interior de la ventana en la parte de visión . Alternativamente, algunos paquetes trazan la definición en coordenadas mundiales en coordenadas de dispositivo normalizadas primero y después se recortan los límites de la puerta de visión.
El recorte de puntos contra una especificación de ventana simplemente significa que se prueban valores coordenados para determinar si están o no dentro de las fronteras. Un punto en la posición (x,y) se salva para la transformación en una puerta de visión si satisface las siguientes desigualdades:
Si alguna de estas cuatro desigualdades no se cumple, el punto se recorta. En la figura 5, el punto P, se salva y el punto P2 se recorta.

Transformación ventana-área de vista.


El modelo del mundo que se quiere representar almacena los objetos expresados usando un sistema de coordenadas reales llamado sistema de coordenadas del mundo, en el que los objetos se expresan en cualquier unidad que tenga significado par la aplicación.


La aplicación dibuja los objetos en un sistema de coordenadas enteras, llamado sistema de coordenadas de dispositivo. Es necesario hacer una correspondencia que transforme coordenadas de un sistema en otro y viceversa. Lo que hacemos es expresar una ventana en coordenadas del mundo, en un puerto de visión expresado en coordenadas de dispositivo. La pantalla viene definida por un sistema de coordenadas enteras (píxeles).

CONCLUSIONES.

La computación gráfica 2D es la generación de imágenes digitales porcomputadora - sobre todo de modelos bidimensionales (como modelos geométricos, texto y imágenes digitales 2D) y por técnicas específicas para ellos.

La computación gráfica 2D se utiliza principalmente en aplicaciones que fueron desarrolladas originalmente sobre tecnologías de impresión y dibujotradicionales, tales como tipografía, cartografía, dibujo técnico, publicidad, etc.

Los gráficos 2D por computadora se han iniciado en la década de 1950, basándose en dispositivos de gráficos vectoriales.1 Éstos fueron suplantados en gran parte por dispositivos basados en gráficos raster en las décadas siguientes.

Las líneas en OpenGL son en realidad segmentos acotados, en lugar de la idea matemática de rectas infinitas. Su definición viene dada por la especificación del valor de sus dos vértices extremos.

OpenGL maneja polígonos correctamente siempre y cuando sean simples y convexos. Si ese no es el caso, OpenGL dibuja cosas raras.

El algoritmo de Bresenham es un algoritmo creado para dibujar rectas en los dispositivos de gráficos rasterizados, como por ejemplo un monitor de ordenador, que determina qué pixeles se rellenarán, en función de la inclinación del ángulo de la recta a dibujar.

En graficación, el algoritmo de “mid point circle” es un algoritmo utilizado para determinar los puntos necesarios para dibujar un círculo.

Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra.
Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar".

Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura.

Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.

La representación tradicional de un grafo consiste en un conjunto de puntos que representan los nodos unidos por unas líneas que unen aquellos nodos relacionados. 

Un área rectangular que se especifica en coordenadas mundiales se denomina ventana. El área rectangular en el dispositivo de despliegue en el cual se coloca la ventana se llama puerta de visión.

BIBLIOGRAFIA.

http://garciaoscar10110795.blogspot.mx/p/unidad-iii.html

http://graficasmotul.blogspot.mx/2009/09/traslacion-rotacion-y-escalacion.html

http://encanta.avalonsoftware.org/idgaw/09/animvect2.php

http://www.mitecnologico.com/Main/Escalacion

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http://www.google.com.mx/imgresimgurl=http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Movimientos_plano_puntos_segmento/traslacion